اندازه گیری حرکت رو به بالا

پس از حل کردن این معادله نسبت به داریم

اندازه گیری حرکت رو به بالا

1) آسانسور با سرعت ثابت ( a=0 ) به سمت بالا حركت مي‌كند و شخصي كه داراي وزن W است روي يك ترازو داخل آسانسور ايستاده، مي‌خواهيم ببينيم

ترازو چه مقداري را نشان مي‌دهد. (مقدار N همان مقداري است كه ترازو نشان مي‌دهد).

يعني ترازو همان وزن شخص را نشان مي‌دهد.

2 ) آسانسور با شتاب a به سمت بالا مي‌رود و شخصي به جرم m و وزن W روي يك ترازو و داخل آسانسور ايستاده‌:

3) وقتي آسانسور با شتاب a به سمت پايين حركت مي‌كند و شخص روي يك ترازو داخل آسانسور ايستاده است. (جرم شخص m و وزن آن W است):

جهت حركت آسانسور	آسانسور به سمت پايين حركت مي‌كند	آسانسور به سمت بالا حركت مي‌كند
حركت تندشونده
حركت كندشونده

پرسش: شخصي به جرم 45kg داخل آسانسوري روي ترازو ايستاده در هر يك از حالات زير عددي كه ترازو نشان مي‌دهد پيدا كنيد:

اندازه گیری حرکت رو به بالا

آزمون تستی علوم تجربی پایه نهم | فصل 15: با هم زیستن

تیم مدیریت گاما

آزمون چهارگزینه‌ای فصل 6 علوم نهم | سطح پیشرفته

تیم مدیریت گاما

آزمون تستی فصل 12 علوم نهم دبیرستان شاهد اندازه گیری حرکت رو به بالا دخترانه ی ازنا | دنیای گیاهان

تیم مدیریت گاما

سؤالات امتحان هماهنگ استانی نوبت دوم علوم تجربی پایه نهم استان خوزستان | خرداد 1398…

هماهنگ نهم خوزستان

سوالات آزمون تستی درس 3 و 4 علوم تجربی نهم مدرسه شهید مطهری خرمدره

ارزشیابی فصل 1 و 2 علوم تجربی نهم مدرسه شهید بهشتی

آزمونک علوم تجربی نهم | فصل سوم: به دنبال محیطی بهتر برای زندگی

آزمون علوم تجربی نهم مدرسه البرز شهریار | فصل 1: مواد و نقش آنها در زندگی

نمونه سوالات امتحانی فصل 9 علوم نهم | ماشین‌ها

امتحان علوم تجربی نهم مدرسه شاهد قائم شهر | فصل 1 و 2

سوالات امتحان هماهنگ استانی نوبت دوم خرداد ماه 95 درس علوم تجربي پایه نهم | استان…

اندازه گیری حرکت رو به بالا

حرکت نسبی یک بُعدی و دو بُعدی

فرض کنید مرغابی ای را میبینید که با سرعت به سمت شمال پرواز می کند. از نظر مرغابی دیگری که در کنار آن مرغابی در حال پرواز کردن است، مرغابی اول ساکن به نظر می رسد. به عبارت دیگر سرعت یک ذره به چارچوب مرجع عنصر در حال مشاهده یا در حال اندازه گیری سرعت ذره بستگی دارد.

برای منظوری که ما داریم چارچوب مرجع یک شی فیزیکی است که دستگاه مختصات را به آن متصل می کنیم. در زندگی روزانه این شیء زمین است. برای مثال تندی های نوشته شده در برگ فهرست تندی های مجاز رانندگی، همیشه نسبت به زمین اندازه گیری می شوند. اما تندی نسبت به افسر پلیس که در حال حرکت کردن با خودرو خود آن را اندازه می گیرد متفاوت است.

فرض کنید امیر ( واقع در مبداء چارچوب مرجع در شکل زیر) که خودرو خود را در کنار بزرگ راهی متوقف کرده است، خودرو در حال عبور (ذره) را مشاهده می کند.

بهروز ( واقع در مبداء چارچوب مرجع ) که با تندی ثابت در بزگ راه در حال رانندگی است نیز خودرو را مشاهده می کند. فرض کنید هر دو ناظر در لحظه معینی در صدد تعیین مکان خودرو هستند. با توجه به شکل داریم

معادله چنینن خوانده می شود:« ، مختصه اندازه گیری شده خودرو توسط برابر است با ، مختصه اندازه گیری شده خودرو توسط ، به علاوه ، مختصه اندازه گیری شده توسط ». به ترتیب شاخص های پایین در موقع خواندن جمله های معادله بالا توجه کنید. با مشتق گرفتن از معادله نسبت به زمان، داریم

بنابراین رابطه مولفه های سرعت عبارت از

معادله را به این صورت می خوانیم:« ، سرعت اندازه گیری شده خودرو توسط برابر است با ، سرعت اندازه گیری شده خودرو توسط ، به علاوه ، سرعت اندازه گیری شده توسط ». جمله سرعت چارچوب نسبت به چارچوب است.

در اینجا فقط چارچوب های مرجعی را در نظر می گیریم که نسبت به هم با سرعت ثابت حرکت می کنند. در مثالی که ارائه شد موضوع چنین است که بهروز ( چارچوب ) همیشه با سرعت ثابت نسبت به امیر (چارچوب )حرکت می کند. اما خودرو ( ذره در حال حرکت) ممکن است سرعتش زیاد یا کم شود، یا متوقف گردد یا جهش وارون شود ( به هر حال خودرو می تواند شتاب دار باشد).

برای تعیین رابطه شتاب خودرو که توسط بهروز و امیر اندازه گیری می شود از معادله نسبت به زمان مشتق می گیریم، داریم

چون ثابت است، جمله آخر سمت راست معادله صفر است. در نتیجه داریم

ناظرهای واقع در چارچوب های مرجع مختلف ( که نسبت به هم با سرعت ثابتی حرکت می کنند)، برای یک ذره در حالحرکت شتاب یکسانی را اندازه می گیرند.

مسئله نمونه: حرکت اندازه گیری حرکت رو به بالا نسبی یک بُعدی امیر و بهروز

در شکل بالا فرض کنید سرعت بهروز نسبت به امیر ثابت و برابر با است و خودرو در جهت منفی محور می کند.

الف) اگر سرعت خودرو نسبت به امیر مقدار ثابت باشد، سرعت خودرو نسبت به بهروز چیست؟

اگر خودرو به وسیله یک طناب پیچیده شده به دور قرقره به خودرو بهروز وصل می شد، هنگام دور شدن دو خودرو از هم طناب با تندی از قرقره باز می شد.

ب) اگر خودرو با شتاب ثابت ترمز کند و پس از زمان نسبت به امیر ( و در نتیجه نسبت به زمین) متوقف شود، شتاب نسبت به امیر چقدر است؟

حل: سرعت آغازی نسبت به امیر و سرعت پایانی صفر است. بنابراین شتاب نسبت به امیر برابر است با

پ) شتاب خودرو نسبت به بهروز درحین ترمز کرد چیست؟

حل: سرعت آغازی نسبت به بهروز با توجه به قسمت (الف) در دست است( ) ، سرعت پایانی نسبت به بهروز است ( این مقدار سرعت خودرو متوقف شده نسبت به بهروز در حال حرکت است). بنابراین داریم

این همان نتیجه ای است که از پیش می دانستیم: چون امیر و بهروز دارای سرعت نسبی ثابت اند، برای خودرو شتاب یکسانی را اندازه می گیرند.

حرکت نسبی دو بُعدی

دو ناظر مورد نظر ما باز هم خودرو را از مبداء چارچوب های مرجع در حالی که با سرعت ثابت نسبت به حرکت می کند ( محورهای متناظر این دو چارچوب موازی اند)، مشاهده می کنند و شکل زیر لحظه معینی از حرکت را نشان می دهد.

در آن لحظه، بردار مکان مبداء نسبت به مبداء ، به صورت است. هم چنین بردارهای مکان ذره عبارت اند از نسبت به مبداء و نسبت به مبداء . با توجه به وضعیت سَرها و دُم های این سه بردار مکان در شکل، می توان نوشت

با مشتق گرفتن از این معادله نسبت به زمان می توان رابطه میان سرعت های ذره نسبت به ناظرهای را به دست آورد:

اگر از این رابطه نسبت به زمانمشتق بگیریم، شتاب های ذره نسبت به ناظرها به دستمی آیند. اما توجه کنید که چون ثابت است، مشتق آن نسبت به زمان صفر است. بنابراین داریم

در اینجا نیز مانند حرکت یک بُعدی این قاعده استنتاج می شود: ناظرهای واقع در چارچوب های مرجع مختلف که نسبت به هم با سرعت ثابتی حرکت می کنند، برای ذره در حال حرکت یک شتاب یکسان را اندازه می گیرند.

مسئله نمونه : حرکت نسبی دو بُعدی هواپیماها

قسمت الف شکل زیر نشان می دهد که هواپیمایی قرار است به سمت خاور پرواز کند. اما چون بادی به سمت شمال و متمایل به خاور می وزد، خلبان مجبور است که هواپیما را نسبت به محور خاوری اندکی به سمت جنوب هدایت کند. سرعت هواپیما نسبت به باد ، بزرگی آن و زاویه آن نسبت به محور خاوری و متمایل به جنوب است. سرعت اندازه گیری حرکت رو به بالا باد نسبت به زمین ، بزرگی آن و زاویه آن نسبت به محور شمالی و متمایل به خاور 20 درجه است. زاویه و بزرگی سرعت هواپیما نسبت به زمین چیست؟

حل: نخست رابطه زیر را برای سه بردار نشان داده شده در قسمت ب شکل بالا می نویسیم

این رابطه را می توان به صورت برداری زیر نوشت

بهتر آن است که بردارها را به مولفه های آن ها در دستگاه مختصات قسمت (ب) شکل بالا تجزیه وسپس معادله (4-46) را برای هریک از محورها حل کنیم. برای مولفه های داریم

پس از حل کردن این معادله نسبت به داریم

به همین ترتیب برای مولفه های داریم

در اینجا چون با محور موازی است، مولفه با بزرگی برابر است. با جانشانی این مقدار و به ازای داریم

حرکت دایره ای یکنواخت

وقتی جسمی با تندی ثابت در یک مسیر دایره ای حرکت می کند، می گوییم حرکت دایره ای یکنواخت انجام می دهد. در این حرکت جسم دارای یک شتاب مرکزگرا ( به سوی مرکز دایره) با بزرگی ثابت زیر است

که در آن شعاع دایره است.

نیرو مرکزگرا با تغییر دادن جهت سرعت جسم بدون تغییر دادن تندی، به جسم شتاب می دهد. با استفاده کردن از قانون دوم نیوتون و معادله (6-17) ( ) ، بزرگی ، نیروی مرکزگرا ( یایک نیروی مرکزگرای برآیند) را می توان از معادله ی زیر به دست آورد

چون در اینجا تندی ثابت است، بزرگی های شتاب و نیرو هم ثابت اند. اما جهت های شتاب و نیروی مرکزگرا ثابت نیستند و پیوسته تغییر می کنند، به گونه ای که همیشه به سوی مرکز دایره اند.به همین دلیل بردارهای نیرو و شتاب را گاهی در راستای محور شعاعی که همراه جسم حرکت می کند، رسم می کنند. این محور همیشه از مرکز دایره به سوی جسم، مطابق شکل کشیده می شود. جهت مثبت محور شعاعی به برون سوی دایره است، اما بردارهای شتاب و نیرو در راستای شعاع و به درون سوی دایره اند.

مسئله نمونه- حلقه دایره ای قائم، دیاوُلو

اغلب به خاطر سوار شدن خودرو به حرکت دایره ای افقی عادت کرده ایم. اما حرکت دایره ای قائم می تواند تازگی داشته باشد. در یک سیرک آلو دیاولو سوار بر دوچرخه در یک مسیر حلقه ای قائم مانند قسمت الف شکل زیر به اجرای نمایش پرداخت. فرض کنید حلقه به صورت دایره ای به شعاع باشد. کمترین تندی ، که دیالوو و دوچرخه اش باید داشته باشند تا بتوانند در بالای حلقه در تماس با مسیر باقی بمانند چقدر است؟

نمودار جسم -آزاد قسمت ب شکل زیر نیروهایی را که در بالاترین نقطه حلقه به ذره وارد می شوند، نشان می دهد. نیروی گرانشی در راستای محور به پایین سو و نیروی عمودی که حلقه به ذره وارد می کند، نیز به پایین سو است. بنابراین با استفاده کردن از قانون دوم نیوتون برای مولفه های مربوط به محور داریم

اگر ذره کمترین تندی را برای باقی ماندن روی حلقه داشته باشد، در آستانه جدا شدن از حلقه خواهد بود، که به معنی است. باجانشانی این مقدار در معادله 6-19 حل کردن معادله نسبت به و جانشانی مقادیر معلوم داریم

مسئله نمونه – خودرو در یک پیچ دایره ای تخت

قسمت الف شکل زیر یک خودرو مسابقه جایزه بزرگ به جرم را نشان می دهد که در یک مسیر دایره ای تخت به شعاع حرکت می کند. به خاطر شکل خودرو و بال های نصب شده بر روی آن، هوای در حال گذر از پیرامون یک نیروی پایی سوی برآر منفی ، به خودرو وارد می کند. ضریب اصطکاک ایستایی میان لاستیک ها و مسیر است. ( فرض کنید نیروهای وارد شده به هریک از چهار لاستیک برابراند). (الف) اگر خودرو در حال حرکت کردن با تندی در آستانه بیرون لغزیدن از پیچ باشد، بزرگی نیروی برآر منفی پایین سوی وارد شده به خودرو چقدر است؟

محاسبات راستای شعاعی: در نمودار جسم- آزاد قسمت ب شکل فوق نیروی اصطکاک نشان داده شده است. این نیرو د رجهت منفی محور شعاعی است که همیشه از مرکز خمیدگی تا محل خودرو در حال حرکت ادامه دارد. این نیرو یک شتاب مرکزگرا با بزرگی به وجود می آورد. با نوشتن قانون دوم نیوتون برای مولفه های واقع در راستای محور می توان رابطه میان این نیرو و شتاب را چنین نوشت

با قرار دادن به جای در این رابطه داریم

محاسبات راستای قائم: اکنون نیروهای قائم وارد شده به خودرو را در نظر بگیرید. در قسمت ب شکل جهت نیروی عمودی به سمت بالا و در جهت مثبت محور است. جهت نیروی گرانشی و جهت نیروی برآر منفی به سمت پایین است. شتاب خودرو در راستای محور صفر است. بنابراین قانون دوم نیوتون برای مولفه های مربوط به راستای محور می توان چنین نوشت

ترکیب کردن نتیجه ها: اکنون مقدار از معادله 6-22 را در معادله 6-21 قرار م یدهیم تا نتیجه های بدست آمده برای راستاهای دومحور با هم ترکیب شوند. با انجام دادن این کار و سپس حل کردن معادله حاصل نسبت به داریم

ب)بزرگی نیروی برآر وارد شده به خودرو درست مانند نیروی پسار به مجذور تندی بستگی دارد. بنابراین خودرو وقتی تندترحرکت می کند درست مانند وقتی که در بخش مستقیم جاده حرکت می کند نیروی برآر منفی وارد شده به آن بیشتر می شود. بزرگی نیروی برآور منفی برای تندی چقدر است؟ با متناسب است.

حل: بدین ترتیب نسبت نیروی برآر منفی در تندی به نیروی برآر منفی در تندی را چنین می توان نوشت

با جانشانی نیروی برآر منفی معلوم ، مقدار چنین به دست می آید

برای مطالعه مباحث پیشرفته از محصولدوره آموزشی فیزیک عمومی 1 در سایت لینوماستفاده کنید.

حرکت سقوط آزاد — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در مجموعه مقالات مجله فرادرس، با «سینماتیک» (Kinematics) (حرکت‌شناسی) حالت‌های ساده‌ای نظیر حرکت با سرعت ثابت و حرکت با شتاب ثابت آشنا شدید. در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده و ارائه چند مثال، به طور خاص مبحث حرکت سقوط آزاد در فیزیک را بررسی کنیم.

فیلم آموزشی حرکت سقوط آزاد

مبحث سقوط آزاد، به بررسی سقوط یک جسم در میدان گرانشی می‌پردازد. حرکت سقوط آزاد را حرکتی یک بعدی در نظر می‌گیریم. توجه شود که معادلات این حرکت تنها برای حالت سقوط، یعنی حرکتی از ارتفاع بیشتر به کمتر، صادق نبوده و برای حرکتی از ارتفاع کمتر به بیشتر نیز صادق است.

گرانش (جاذبه زمین)

یک جسم سنگین و یک پَر را در نظر بگیرید که از ارتفاعی مشخص به پایین سقوط می‌کنند. اگر از مقاومت هوا صرف‌نظر کنیم، کدام یک از آن‌ها زود‌تر به سطح زمین می‌رسد؟

یکی از واقعیت‌های غیرمنتظره در خصوص سقوط اجسام، این است که اگر از مقاومت هوا صرف‌نظر کنیم، در تمامی نقاط کُره زمین، سقوط همه اجسام به سمت مرکز زمین و با شتابی ثابت صورت می‌گیرد که این شتاب مستقل از جرم اجسام است. شاید پذیرفتن این مطلب که جسم سنگین و پر به صورت یکسان و همزمان به سطح زمین رسند، برایتان غیرقابل قبول باشد. اغلب مردم انتظار دارند که اجسام سنگین‌تر، به هنگام سقوط، شتاب بیشتری داشته و زودتر به سطح زمین‌ برسند. این مطلب همیشه درست نبوده و در غیاب مقاومت هوا، هر دو جسم به صورت هم‌زمان به سطح زمین می‌رسند.

در خلأ، دو جسم با وزن‌های متفاوت هم زمان سقوط کرده و به سطح می‌رسند. چرا که نیرو گرانشی متناسب با وزن اعمال شده و در نتیجه شتاب برای هر دو جسم ثابت است.

در حالت عادی و دنیای روزمره ما، مقاومت هوا همیشه وجود دارد. در واقع همانند مقاومتی که آب برای یک سنگ که به درون آن انداخته می‌شود یا مقاومتی که سطح برای حرکت دادن یک جسم ایجاد می‌کند، هوا هم برای اجسامی که در آن حرکت می‌کنند، مقاومت ایجاد کرده و باعث می‌شود یک جسم سبک‌تر، آهسته‌تر از یک جسم سنگین (در زمان و ارتفاع یکسان) سقوط کند.

در این مقاله به بررسی سقوط مواردی می‌پردازیم که مقاومت (اصطکاک) هوا در آن‌ها وجود ندارد. به این حالت (بدون مقاومت هوا)، حرکت سقوط آزاد گفته می‌شود. در این حالت نیرو گرانشی باعث می‌شود که اجسام به سمت مرکز زمین با شتاب ثابت گرانشی سقوط کنند. این شتاب ثابت باعث می‌شود که ما بتوانیم به راحتی از معادلات سینماتیکی (حرکتی) برای بررسی حرکت سقوط آزاد اجسام استفاده کنیم. سقوط آزاد را می‌توان حرکتی یک بعدی در راستای قائم (عمودی) در نظر گرفت.

در حرکت سقوط آزاد (صرف نظر از مقاومت هوا) به تمامی اجسام شتاب ثابت $$g$$ وارد می‌شود.

شتاب ناشی از گرانش، در همه‌جای کره زمین (البته نه در ارتفاع‌های خیلی‌ بالا) ثابت بوده و مقدار متوسط آن به صورت زیر است:

موقعیت جغرافیایی روی مقدار g موثر است. اما برای راحتی کار در مسائل ساده، همیشه مقدار آن را ثابت در نظر می‌گیریم. با صرف نظر از چرخش زمین، جهت شتاب گرانشی $$g$$ همیشه به سمت پایین (مرکز زمین) است. البته توجه داشته باشید که علامت شتاب در معادلات سینماتیکی به مختصاتی که ما آن را تعریف می‌کنیم بستگی دارد. اگر جهت بالا را مثبت در نظر بگیریم، شتاب g را به صورت منفی ($$a=-g=-9.8 \frac>$$) در معادلات جایگذاری می‌کنیم؛ چرا که جهت $$g$$ به سمت زمین (پایین) است و اگر جهت پایین را مثبت تعریف کنیم، شتاب g را به صورت مثبت ($$a=g=9.8 \frac>$$) در معادلات جایگذاری می‌کنیم. معمولاً در اکثر مراجع به هنگام بررسی مسائل حرکت سقوط آزاد در فیزیک پایه، جهت بالا را مثبت تعریف کرده و لذا علامت $$g$$ را به صورت منفی در نظر می‌گیرند.

حرکت سقوط آزاد (حرکت یک بعدی با شتاب ثابت)

همان‌طور که پیش‌تر بیان کردیم، برای بررسی حرکت سقوط آزاد اجسام، می‌توانیم از معادلات سینماتیکی بهره ببریم. از آنجایی که سقوط آزاد، حرکتی یک بعدی در راستای قائم است، برای روشنی و نمایش بهتر مطلب نماد $$y$$ را به جای $$x$$ و شتاب ثابت گرانشی $$g$$ را به جای $$a$$ در معادلات قرار می‌دهیم. باز هم یادآور می‌شویم که اگر جهت بالا را مثبت در نظر گرفتید، $$g$$ را به صورت منفی در معادلات استفاده کنید. در مسائل این مقاله، ما جهت بالا را مثبت در نظر می‌گیریم.

پیرو مطالب گفته شده، معادلات سینماتیکی برای حرکت یک بعدی با شتاب ثابت در راستای قائم (مسائل حرکت سقوط آزاد) به شکل زیر هستند (جهت بالا مثبت فرض شده است):

در ادامه به بررسی چند مثال می‌پردازیم.

مثال ۱

فرض کنید که در بالای یک بلندی ایستاده و سنگی را رها می‌کنید. پس از گذشت ۱ ثانیه، سنگ چه مسافتی را طی می‌کند؟ پس از گذشت این زمان، سرعت سنگ چقدر است؟

برای حل این مسئله، جهت رو به بالا را مثبت در نظر می‌گیریم. در نتیجه شتاب ثابت گرانشی $$g$$ را با علامت منفی در معادلات جایگذاری می‌کنیم. همچنین مکانی که سنگ رها شده را ۰ در نظر می‌گیریم؛ یعنی مکان اولیه سنگ در نقطه ۰ محور مختصاتی است ($$y_=0$$). همچنین توجه داشته باشید که رها کردن یک جسم، به منزله سقوط آن بدون سرعت اولیه است. پس در اینجا $$v_=0$$ بوده و در نتیجه از رابطه (۱) داریم:

در واقع جابه‌جایی طی شده توسط سنگ $$\triangle y=y-y_=-4.9m$$ بوده و مسافت طی شده $$4.9m$$ است. برای به‌ دست آوردن سرعت پس از گذشت ۱ ثانیه نیز از رابطه (۲) استفاده می‌کنیم.

بیان کردیم که سقوط آزاد حرکتی یک بعدی با شتاب ثابت $$g=9.8\frac>$$ است. یعنی با توجه به مفهوم شتاب، با گذشت هر ثانیه، مقدار $$9.8\frac$$ بر سرعت جسم افزوده می‌شود. در اینجا که سرعت اولیه صفر است، در پایان ثانیه اول، مقدار $$9.8\frac$$ بر سرعت سنگ اضافه می‌شود.

حال فرض کنید ارتفاعی که در آن قرار دارید نسبت به سطح زمین 10 متر باشد. در این صورت سرعت سنگ به هنگام برخورد با زمین چقدر است؟ این سقوط (زمان رها شدن تا برخورد) چقدر طول می‌کشد؟

برای به دست آوردن سرعت سنگ هنگام برخورد با سطح زمین، از معادله (۳) استفاده می‌کنیم.

$$v^-v_0^2=-2g(y-y_)\Rightarrow v^=-2gy=-2\times9.8\times-10 \Rightarrow v=\pm14\frac$$

دقت شود از آنجایی که جهت بالا را مثبت و نقطه رها شدن سنگ را ۰ مختصات تعریف کردیم، ارتفاع بلندی را به صورت منفی در معادله قرار دادیم. دقت کنید که اگر ارتفاع را به صورت مثبت در معادله قرار می‌دادیم، حاصل یک عبارت توان دو حقیقی منفی می‌شد که غیر قابل قبول است. همچنین از آنجایی که جهت بالا را مثبت در نظر گرفتیم، برای سرعت جسم به هنگام برخورد علامت منفی ($$v=-14\frac$$) قابل قبول است.

برای به دست آوردن زمان کل، یعنی مدت زمانی که سنگ رها شده و به سطح زمین برخورد کرده، می‌توانیم از هر دو رابطه (۱) و (۲) به صورت زیر استفاده کنیم:

$$y-y_=-\fracgt^+v_\Rightarrow-10=-\frac\times9.8\times t^\Rightarrow t^\cong 2\rightarrow t\cong1.4s$$

$$v=-gt+v_\Rightarrow v=-gt\rightarrow -14=-9.8t \rightarrow t\cong1.4s$$

مثال ۲

توپی را با سرعت اولیه $$20\ \frac$$ به طرف بالا (مستقیم) پرتاب می‌کنیم. پس از گذشت چند ثانیه، توپ به بالاترین ارتفاع ممکن می‌رسد؟ این ارتفاع چقدر است؟ ($$g=10\frac>$$)

برای پاسخ به این سوال، می‌توانیم از رابطه (۱) و (۲) استفاده کنیم. در اینجا نیز حرکت به سمت بالا را مثبت و نقطه پرتاب را ۰ مختصات در نظر می‌گیریم. پس در لحظه پرتاب ($$h_=0$$) و ($$v_=20\frac$$) بوده و در نتیجه از رابطه (۲) داریم:

$$v=-gt+v_\Rightarrow 0=-10t+20\rightarrow t=2s$$

دقت شود که در بالاترین ارتفاع ممکن، سرعت جسم صفر است. در واقع با پرتاب یک جسم به بالا، رفته رفته سرعت آن کم می‌شود و در بالاترین ارتفاع ممکن، به صفر می‌رسد، در این لحظه علامت سرعت عوض شده و به هنگام سقوط بر سرعتش افزوده می‌شود. برای به دست آوردن بالاترین ارتفاع ممکن، از رابطه (۱) داریم:

$$y-y_=-\fracgt^+v_t\Rightarrow y=-\frac\times10\times 2^+20\times2\rightarrow y=20m$$

حال مدت زمانی که طول می‌کشد تا توپ به نقطه پرتاب خود رسد را محاسبه کنید. سرعت توپ به هنگام عبور از نقطه پرتاب چقدر است؟

برای پاسخ به این سوال می‌توانیم باز هم از معادله (۱) استفاده کنیم. به هنگام رسیدن توپ به نقطه پرتاب، $$y=0$$ بوده و در نتیجه داریم:

$$y-y_=-\fracgt^+v_t \Rightarrow 0=-\frac\times10\times t^+20\times t \rightarrow t(-5t+20)=0 \rightarrow t=0s \ , \ 4s$$

زمان $$t=0s$$ مربوط به زمان پرتاب و $$t=4s$$ مدت زمانی است که طول می‌کشد توپ به نقطه پرتاب برگردد. سرعت توپ در این نقطه به هنگام برگشت از بالاترین نقطه از معادله (۲) به صورت زیر است:

$$v=-gt+v_\Rightarrow v=-10\times4+20\rightarrow v=-20\frac$$

مثال ۳

از بالای پلی به ارتفاع $$50m$$ سنگی را با سرعت اولیه $$v_=15\frac$$ به طرف بالا پرتاب می‌کنیم. مدت اندازه گیری حرکت رو به بالا زمانی که طول می‌کشد سنگ به زمین برخورد کند را محاسبه کنید.

برای حل این سوال، از رابطه (۱) استفاده می‌کنیم. در اینجا نیز حرکت به سمت بالا را مثبت و نقطه پرتاب را صفر مختصات در نظر می‌گیریم ($$h_=0$$). پس به هنگام برخورد سنگ با زمین، یعنی پایین پل، $$h=-50m$$ است. در نتیجه داریم:

$$y-y_=-\fracgt^+v_t\Rightarrow -50=-\frac\times10\times t^+15t \rightarrow t=-2s \ , 5s$$

پرتاب از زمان $$t=0s$$ آغاز شده و در نتیجه پاسخ $$t=5s$$ مورد قبول است.

برای حل مثال داده شده می‌توان از راه حل دوم نیز استفاده کرد. در این حالت، مسیر سنگ پرتاب شده را مطابق تصویر به دو قسمت تقسیم می‌کنیم.

سنگ مسیر 1 را در مدت زمان $$t_$$ و مسیر ۲ را در مدت زمان $$t_$$ طی خواهد کرد. $$t_$$ مدت زمانی است که سنگ از نقطه پرتاب تا رسیدن به ارتفاع اوج طی خواهد کرد در نتیجه داریم.

$$v=-gt_1+v_0 \\
0=-10t+15 \\
\Rightarrow t= \frac= 1.5 \ s$$

ارتفاع اوج از رابطه زیر به دست خواهد آمد.

$$v^2-v_0^2=-2g(y-y_0) \\ 0-225 = -2\times10\times(y-0) \\ \Rightarrow y=\frac=11.25 \ m$$

اکنون زمان $$t_$$ یعنی زمان رسیدن از نقطه اوج تا رسیدن به زمین را به دست می‌آوریم.

$$y-y_0=-\fracgt^2_2+v_0t_2 \\ -50-11.25=-\frac\times10\times t^2_2+0\times t_2 \\ -61.25 = -5t^2_2 \\ \Rightarrow t_2 = 3.5 \ s$$

بنابراین مدت زمانی که طول می‌کشد تا سنگ به زمین برخورد کند برابر با جمع زمان‌های $$t_$$ و $$t_$$ و مساوی با ۵ ثانیه خواهد بود.

مثال ۴

یک موشک کوچک به همراه «لانچر» (Booster) آن را در نظر بگیرید. قسمت لانچر در ارتفاع 5 کیلومتری از سطح زمین و در سرعت $$200\frac$$ از موشک جدا می‌شود. بیشترین ارتفاعی که لانچر می‌تواند به آن برسد، چقدر است؟ (از مقاومت هوا صرف‌نظر کنید.)

برای پاسخ به این سوال، می‌توانیم از رابطه (۳) استفاده کنیم. برای پاسخ به این سوال، می‌توانیم اینگونه فرض کنیم که لانچر با سرعت اولیه $$v_=200\frac$$ به سمت بالا پرتاب شده است. نقطه پرتاب (در واقع نقطه جدا شدن از موشک) را نیز در ارتفاع $$h_=0$$ در نظر می‌گیریم. همچنین به یاد دارید که سرعت در بالاترین ارتفاع مقدار صفر را دارد. در نتیجه:

$$v^-v_0^2=-2g(y-y_)\Rightarrow 200^2=-2\times9.8(y) \rightarrow y=2040.8m\cong2km$$

رابطه فوق نشان می‌دهد که لانچر به اندازه $$2km$$ از نقطه پرتاب (جدا شدن از موشک در ارتفاع 5 کیلومتری) بالاتر رفته و در نتیجه بیشترین ارتفاع ممکن آن از سطح زمین $$7km$$ است.

مثال ۵

جسمی را از ارتفاع 2۰۰ متری به طرف پایین رها ($$v_=0\frac$$) می‌کنیم. پس از چند ثانیه جسم مذکور به زمین برخورد می‌کند؟ در حدفاصل زمان‌های $$t=5s$$ و $$t=6s$$ جسم چه مقدار جابه‌جا شده است؟

از آنجایی که جسم رها شده است، سرعت اولیه ندارد. همچنین حرکت به سمت بالا را مثبت (یعنی $$g$$ با علامت منفی) و نقطه رها شدن را صفر مختصات در نظر می‌گیریم. در نتیجه از رابطه (۱) داریم:

$$y-y_=-\fracgt^+v_t\Rightarrow -200=-\frac\times 9.8\times t^\rightarrow t\cong6.38s$$

برای پاسخ به قسمت دوم سوال نیز از رابطه (۱) استفاده می‌کنیم.

جابه‌جایی جسم مذکور در مدت زمان بین $$t=5s$$ و $$t=6s$$ به صورت $$\triangle y=y_-y_$$ محاسبه می‌شود. در نتیجه داریم:

مثال 6

توپی را از بالای یک ساختمانی به ارتفاع 98 متر با سرعت اولیه $$v_=4.9\frac$$ به پایین پرتاب می‌کنیم. پس از گذشت چند ثانیه و با چه سرعتی توپ به زمین برخورد می‌کند؟

همانند مثال‌های پیشین، سمت بالا را مثبت و نقطه پرتاب را صفر مختصات در نظر می‌گیریم. همچنین علامت سرعت منفی است (رو به پایین). از رابطه (۱) نتیجه می‌شود:

$$y-y_=-\fracgt^+v_t\Rightarrow -98=-\frac\times9.8\times t^-4.9t \rightarrow t^+t-20=0 \Rightarrow t=4s \ , \ -5s$$

واضح است که پاسخ $$t=4s$$ مورد قبول است. برای محاسبه سرعت به هنگام برخورد از معادله (۲) داریم:

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

محاسبه سرعت و جابجایی با استفاده از شتاب سنج

سوال غالب در این باره این است که آیا با استفاده از خروجی شتابسنج میتوان سرعت و جابجایی را محاسبه کرد. به طور خلاصه میتوان گفت که : ” بله و نه”. این کار به میزان دقت مورد نظر بستگی دارد. به طور کلی استفاده از شتاب سنج های ارزان ( چند صد هزار تومان به جای چند ده میلیون تومانی ) برای محاسبه سرعت و جابجایی باعث بدست آمدن نتایج بسیار ضعیف و غیر قابل استفاده میشود. این اتفاق به علت ضعیف بودن شتابسنج ها نمیباشد ، بلکه بخاطر این است که جهت گردش سنسور باید با دقت زیادی قابل خواندن باشد تا مشخصه های گرانشی از شتاب فیزیکی خود سنسور قابل تشخیص باشد.

حتی کوچکترین خطا ها در اندازه گیری جهت و چرخش باعث ایجاد خطاهای بزرگ در مقدار شتاب و حتی خطاهایی بزرگتر درمحاسبه سرعت و جابجایی می‌شود.

هرچند برخی دستگاه ها نیاز به دقت بسیاری ندارند ، و بعضی از اوقات دقت بالا به اندازه توانایی اندازه گیری در بازه های کوچک سرعت و جابجایی نیاز نیست.

در این مقاله به چیزهایی که برای اندازه گیری سرعت و جابجایی از طریق استفاده از شتابسنج نیاز داریم میپردازیم. همچنین میزان دقتی که قابل پیشبینی است در این روش از اندازه گیری را مشخص می‌نماییم.

برای بدست آوردن نقطه دید مناسب برای سرعت و جابجایی، ضروریست شتاب فیزیکی سنسور در حالت بیننده بدست آوریم. برای اینکه شتاب اندازه گیری شده توسط سنسور را به شتاب واقعی فیزیکی سنسور تبدیل کنیم باید اول بدانیم که سنسور شتابسنج دقیقا چه چیزی را محاسبه می‌کند.

به طور خلاصه سنسور هم شتاب حرکت خود سنسور را محاسبه می‌کند هم مجموع نیروهایی که جلوی حرکت سنسور را به سمت هسته زمین می‌گیرند. برای بدست آوردن میزان شتاب سنسور باید نیروهای دیگر را حذف کنیم.از این فرمول شتاب را بدست می آوریم.

که در آن a B شتاب بدنه اصلی میباشدg شتاب گرانش، R ماتریس چرخش از فریم اصلی تا فریم ثابت میباشد. این مدل با فرض عدم وجود محور درجه دار تشکیل شده با حل کردن شتاب حرکت بدنه بدست می آید.

شتاب حرکت بدنه باید به شکل اینرسی بیننده تبدیل شود.

از این فرمول میتوان برای بدست آوردن فریم اینرسی استفاده نمود که g میتواند شتاب گرانش باشد یا شتاب دلخواه.

تخمین سرعت و جابجایی:

زمانی که شتاب بدنه ثابت بدست آمد میتوان با گرفتن مشتق آن سرعت مورد نظر و جابجایی را بدست آوریم.

در عمل اطلاعات در بازه های زمانی گسسته بدست می‌آیند پس سرعت و جابجایی تخمین زده شده با استفاده از اینها بدست آمده اند ، که در اینجا T دوره زمانی آزمایشی است .

این دوره آزمایشی بدست آمده نه اینکه به سخت افزار مورد استفاده برای انتقال اطلاعات از سنسور بستگی نداشته باشد زیرا که اگر از آن اطلاعات استفاده کنیم ممکن است عدد های دقیق بدست نیاید بلکه باید از میزان آزمایشی های تخمین زده شده استفاده کرد. در صورت استفاده از کامپیوتر ها و ویندوز ها دیرکرد های غیر قابل پیشبینی را به بار خواهد آورد در زمان رسیدن اطلاعات سری ،که باعث ایجاد نا هماهنگی ها و عدم دقت در زمان می‌شود.

دقت تخمین سرعت و جابجایی:

باید دقت شود که در بخش قبلی از چرخش ماتریس استفاده میکنیم برای تغییر فریم بدنه اندازه گیری شده به مقدار اینرسی که با مقدار اضافی شتاب گرانش در فریم اینرسی محاسبه می‌شود.

از آنجایی که در عمل میزان گردش دقیق سنسور را نمی‌دانیم، شتاب گرانش اضافه شده نمی‌تواند به خوبی نیرو های اضافه را حذف کند و این نیرو ها ممکن است به جای شتاب اشتباه گرفته شوند. به نظر می رسد که سنسور های ارزان قیمت و ضعیف به دلیل مشکل درخواندن دقیق گردش سنسور باعث ایجاد خطا در اندازه‌گیری شتاب می‌شود که از مقدار خطا های تطبیق سنسور و ارسال اطلاعات بسیار بیشتر میشود. این خطا ها در صورت ضرب و تقسیم شدن بسیار زیاد میشوند به طوری که تخمین سرعت و جابجایی را بی فایده و غیر قابل استفاده می‌کنند.

این جدول به طور خلاصه خطاهای سرعت و جابجایی و شتاب را نشان می‌دهد.چ

روشهای محاسباتی معمولی که برای بدست آوردن سرعت و جابجایی با استفاده از سنسور شتاب سنج بکار می‌روند در صورتی که از شتاب سنج با دقت بالا استفاده شود بدینگونه است:

بهترین روش ریاضیاتی که در این موارد استفاده می‌شود دو بار انتگرال گیری می‌باشد.

شتاب همان نرخ تغییر سرعت در یک جسم می‌باشد. در عین حال سرعت هم نرخ تغییر مکان همان جسم می‌باشد. به بیان دیگر سرعت، مشتق مکان می‌باشد و شتاب مشتق سرعت:

انتگرال بر عکس مشتق میباشد پس اگر شتاب یک جسم را داشته باشیم ، با استفاده از دو بار انتگرال گرفتن می‌توانیم مکان جسم را به دست آوریم.

یکی از راه های متوجه شدن این موضوع این است که انتگرال را محیط زیر منحنی تعریف کنیم، که در آن مجموع محیط های بسیار کوچک با عرض تقریبا صفر را محاسبه می‌کنیم. به بیان دیگر مجموع چند انتگرال یک متغیر فیزیکی را به‌ وجود می‌آورد.

با نتیجه گیری از آنچه گفته شد درباره سطح زیر نمودار میتوان گفت:

نمونه برداری از یک سیگنال به ما مقدارهای لحظه ای از اندازه آن سیگنال می‌دهد ، پس میتوانیم فاصله‌های کوچکی بین هر نمونه برداری ایجاد کنیم. برای اینکه نمونه نهایی یک مقدار منسجم باشد باید فواصل زمانی نمونه برداری با هم برابر باشند. زمان نمونه برداری نشانگر قاعده و مقدار اندازه گیری و نمونه برداری شده نمایانگر ارتفاع می‌باشد. برای اینکه از اعشار استفاده نکنیم (میکرو ثانیه یا میلی ثانیه ) زمان را یک واحد در نظر می‌گیریم.

حال که می‌دانیم هر نمونه نمایانگر محیطی به قاعده یک می باشد ؛ میتوان نتیجه گرفت اندازه انتگرال برابر با مجموع این نمونه‌ها می باشد.

در زمان واقعی خطا به صورت شکل بالا وجود دارد . این خطا به رخ دادن ادامه میدهد تا زمانی که به کار ادامه می‌دهیم. از این خطا ها با عنوان خطا های نمونه گیری یاد می‌شود . برای کم کردن این مقدار از یک تخمین ساده استفاده می‌شود . در این روش این بخش ها به عنوان مجموع چند بخش کوچکتر در نظر گرفته می‌شوند.